Neste guia, você vai aprender o modelo matemático que usamos para representar qubits. O modelo foi inventado por um matemático brilhante chamado John von Neumann e provou ser extremamente bem-sucedido. Já foi testado várias vezes, e continua prevendo o mundo com precisão. É isso que faz um bom modelo!
P.S. Muita gente confunde o modelo com os qubits. Pensam que um qubit é a matemática que você verá abaixo. É um mal-entendido simples. A física é o campo dedicado a construir modelos matemáticos que representem com precisão o que vemos na natureza. Qubits são objetos físicos reais que mal conseguimos compreender. A matemática abaixo é só um modelo (uma ferramenta) que construímos para prever o comportamento deles.
O qubit isolado
Existem duas formas comuns de escrever o estado de um qubit. Uma é intuitiva e a outra é extremamente útil. A intuitiva é escrever o seu vetor de Bloch, um vetor no espaço 3D. Você pode aprender tudo sobre ele no guia o que é um qubit?. É fácil de imaginar, mas esbarra em limitações sérias quando você tenta representar qubits enquanto eles estão emaranhados. Por isso, para qualquer trabalho sério, usamos o que é conhecido como notação de vetor de estado.
A notação de vetor de estado é boa porque parte do que poderiam ser nossos resultados de medição se medíssemos o qubit.
Passo 1: escolher os resultados de medição
O primeiro passo é escolher quais poderiam ser os resultados da nossa medição quântica. Por exemplo, no famoso experimento de Stern-Gerlach, Stern e Gerlach mediam se o spin de um elétron estava para cima ou para baixo. Os resultados da medição eram para cima ou para baixo.
Damos nomes a esses dois resultados. Por convenção, escrevemos em notação ket:
|0⟩
Leia «ket zero». Nossa convenção para o primeiro resultado, por exemplo,
para cimaem Stern-Gerlach.|1⟩
Leia «ket um». O outro resultado, por exemplo,
para baixoem Stern-Gerlach.
Passo 2: escrever o estado como um vetor
Um vetor de estado é apenas um vetor cujas entradas correspondem a quanto peso (ou amplitude) existe sobre cada resultado de medição. A 1ª entrada corresponde à amplitude de |0⟩, e a 2ª à amplitude de |1⟩.
Visualizamos os dois resultados como dois eixos perpendiculares (|0⟩ e |1⟩) e o estado |ψ⟩ como um vetor nesse plano.
Em forma de ket escreveríamos a mesma coisa como |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩. Como vetor-coluna é simplesmente [α, β].
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ ⇔ [α, β]
Amplitudes não são probabilidades
Amplitude é um conceito ao qual você vai se acostumar. A amplitude não é uma probabilidade. É a «raiz quadrada» de uma probabilidade. Por exemplo, se um estado tem amplitude 1/√2 para |0⟩, a probabilidade de medir |0⟩ é (1/√2)² = 1/2 = 50%. Isso é a regra de Born.
P(measure |0⟩) = |α|2
P(measure |1⟩) = |β|2
Vetores de estado de exemplo
Todo o peso em |0⟩
[1, 0]
Probabilidade de medir
|0⟩=1² = 100%.Todo o peso em |1⟩
[0, 1]
Probabilidade de medir
|1⟩=1² = 100%.Superposição equilibrada
[1/√2, 1/√2]
(1/√2)² = 1/2de probabilidade para cada resultado. 50/50.Uma superposição complexa
[1/√2, i/√2]
Ainda 50/50 (a magnitude ao quadrado
|i/√2|² = 1/2), mas a fase da segunda entrada é diferente.Uma superposição desequilibrada
[√0.3, √0.7]
(√0,3)² = 30%para|0⟩,(√0,7)² = 70%para|1⟩.
Observe uma coisa importante. Em cada exemplo acima, as amplitudes ao quadrado somam 1. Não é coincidência. É uma regra dura. As probabilidades de todos os resultados possíveis devem somar 100%, logo:
|α|2 + |β|2 = 1
E as amplitudes podem ser números complexos. A regra de Born com amplitudes complexas usa a magnitude ao quadrado |α|² = α·α* em vez de apenas α².
Quick check: the Born rule
1 / 2
|ψ⟩ = (√3/2)|0⟩ + (1/2)|1⟩
What's the probability of measuring |0⟩?
A fase global não importa
Escrever vetores de estado dessa forma traz uma pequena redundância. Se você multiplicar todas as amplitudes pelo mesmo número complexo de magnitude 1 (um «fator de fase» como -1, i ou e^(iπ/3)), você descreve o mesmo estado físico. A regra de Born depende de |amplitude|², então multiplicar cada amplitude por um fator de magnitude unitária não altera nenhuma probabilidade de medição.
Esse fator compartilhado é chamado de fase global. Dois vetores de estado que diferem apenas por uma fase global são fisicamente indistinguíveis. Preveem exatamente os mesmos resultados para qualquer medição possível.
Múltiplos qubits
Agora vamos aprender a representar o estado de vários qubits. Tudo o que fazemos é criar uma nova dimensão para cada combinação possível de resultados de medição.
Então o vetor que representa qualquer estado tem 2ⁿ entradas para n qubits. Esse vetor também é chamado de vetor de estado. Assim como no caso de um único qubit, suas entradas podem ser complexas, e suas magnitudes ao quadrado devem somar 1.
statevector dimension = 2n
Para dois qubits, os quatro resultados são |00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩, então o vetor de estado tem 4 entradas. Para três qubits, 8 entradas. Para dez qubits, 1024 entradas. A dimensão cresce exponencialmente com o número de qubits, e é exatamente por isso que simular sistemas quânticos grandes em um computador clássico é tão difícil.
Quick check: multi-qubit statevectors
1 / 2
|ψ⟩ = (1/√2)|00⟩ + (1/√2)|11⟩
This is the Bell state. What's the probability of measuring |10⟩?
Operações
Toda operação feita em um sistema quântico precisa receber um vetor de estado e devolver um vetor de estado. E o novo vetor de estado também precisa satisfazer todas as regras de um vetor de estado, inclusive viver na esfera unitária.
Se a operação for linear, pode ser representada como uma matriz. A restrição é que a entrada e a saída precisam ter norma 1. Matrizes que preservam a esfera unitária são chamadas de unitárias.
Aplicar uma operação a um vetor de estado é multiplicação de matrizes. Pegue a matriz unitária U, multiplique pelo vetor de estado |ψ⟩, e o resultado U|ψ⟩ é o novo vetor de estado.
|ψ’⟩ = U|ψ⟩
Concretely, here’s the Hadamard gate (the most common single-qubit unitary) acting on |0⟩. Each entry of the output is a dot product of one row of U with the input vector:
H|0⟩ lands at the equal superposition. Same machinery scales up: a two-qubit gate is a 4×4 unitary acting on a 4-entry statevector; an n-qubit gate is 2n×2n.Medições
O último tipo de operação que fazemos em um computador quântico é uma medição, que é como extraímos informação do sistema quântico.
Para fazer uma medição, três passos:
- Calcular a probabilidade de cada resultado possível usando a regra de Born (
|amplitude|²). - Amostrar aleatoriamente um resultado usando essas probabilidades.
- Substituir o vetor de estado pelo vetor unitário correspondente ao resultado amostrado.
Por exemplo, medindo o estado |ψ⟩ = (1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩ dá |0⟩ com 50% de probabilidade e |1⟩ com 50%. Se a amostragem deu |0⟩, o vetor de estado depois da medição é simplesmente |0⟩ = [1, 0]. A superposição desaparece. É isso que as pessoas querem dizer quando falam que uma medição «colapsa» o estado.